Ükskõik, kas plaanite kontrollida, kui kiiresti saate oma kohvimasina täita, või loete lihtsalt hommikul bussipeatusesse astumist, on midagi igapäevaelu monotoonsusest, mis paneb meid proovima seda mängu muuta. Kaheksateistkümnenda sajandi Preisi linna Konigsbergi elanikud (nüüd, nagu teate, on see Kaliningrad) olid samad, kes me kõik. Just see mäng, mida nad oma linnas seitsme sillaga mängisid, äratas ühel päeval inimajaloo ühe suurima matemaatiku huvi.
Konigsberg ehitati Pregeli (Pregolya) jõe kaldale, mis jagas linna neljaks eraldi elamurajooniks. Inimesed liikusid seitsme erineva silla kaudu ühest piirkonnast teise. Legendi kohaselt oli pühapäevaste jalutuskäikude ajal populaarne ajaviide proovida kogu linna ületada, et iga silda ületada ainult üks kord. Keegi pole välja mõelnud, kuidas seda teha, kuid see ei tähenda, et probleemil pole lahendust. Temaga tutvumiseks pidid nad lihtsalt minema õige eksperdi juurde.
1735. aastal kirjutas Konigsbergist 120 kilomeetrit läänes asuv Danzigi (nüüd Poola linn Gdansk) linnapea Karl Leonard Gottlieb Ehler Leonard Eulerile kirjaga, milles palus abi selle probleemi lahendamisel kohaliku matemaatikaprofessori nimega Heinrich. Kuehn. Isegi siis oli Euler kuulus ja väga edukas matemaatik - ta avaldas oma esimese raamatu aasta jooksul pärast seda kirja ja kirjutas kogu oma elu jooksul üle 500 raamatu ja artikli.
Seetõttu pole üllatav, et algul arvas Euler, et selle probleemiga tegelemiseks on tema väärikus, ja kirjutas vastuseks: taotlus matemaatikule ja mitte kellelegi teisele, kuna otsus põhineb ainult tervel mõistusel ega sõltu ühestki teadaolevast matemaatilisest põhimõttest."
Lõpuks õnnestus Ehleril ja Kühnil siiski Eulerit veenda ning ta taipas, et see on täiesti uut tüüpi matemaatika - tänapäeval topoloogiana tuntud positsioonide geomeetria. Topoloogias ei oma tähtsust objekti täpne kuju ega asukoht. On isegi üks vana nali, et topoloog ei oska sõõriku ja kohvitopsi erinevust öelda, kuna mõlemal esemel on täpselt üks auk. Kuni selle ajani oli sellest täiesti uuest matemaatika valdkonnast ainult kirjutatud, kuid keegi ei saanud veel aru, milliseid probleeme see lahendada suudab. Seitse Konigsbergi silda olid uue teooria suurepäraseks katseliseks kinnituseks, kuna probleem ei vajanud mõõtmisi ega täpseid arvutusi. Saate keeruka linnakaardi muuta lihtsaks ja arusaadavaks graafikuks (diagrammiks) ilma olulist teavet kaotamata.
Ehkki inimestel võib tekkida kiusatus seda probleemi lahendada, kaardistades kõik võimalikud marsruudid läbi linna, mõistis Euler kohe, et see strateegia võtab liiga kaua aega ja ei tööta muude sarnaste probleemidega (mis siis, kui teises linnas oleks näiteks kaksteist sillad?). Selle asemel otsustas ta ajutiselt sildadest eemale juhtida ja tähistas maismaapiirkonnad tähtedega A, B, C ja D. Nii võiks ta nüüd kirjeldada teekonda üle silla piirkonnast A piirkonda B kui AB ja teekonda piirkonnast A läbi ala B ala. D kui ABD. Siinkohal on oluline märkida, et marsruudi kirjelduses on tähtede arv alati üks rohkem kui ületatud sildade arv. Seega marsruut AB ületab ühe silla ja marsruut ABD ületab kahte silda jne. Euler mõistis, et kuna Konigsbergis on seitse silda, et neid kõiki ületada,marsruut peab koosnema kaheksast tähest, mis tähendab, et probleemi lahendamiseks on vaja täpselt kaheksat tähte.
Siis tuli ta välja veelgi üldisema reegli abil, kasutades veelgi lihtsustatud skeemi. Kui teil oleks olnud ainult kaks maismaalõiku, A ja B, ning ületasite silla üks kord, võib A osa olla seal, kus teekond algas või kus see lõppes, kuid A osas oleksite ainult üks kord. Kui ületaksite sildu a, b ja c üks kord, oleksite lõigul A täpselt kaks korda. See viis käepärase reeglini: kui teil on paarisarv sildu, mis viivad ühele maatükile, peate selle numbri juurde lisama ja jagama kogu siis kahega, et aru saada, mitu korda seda lõiku oma reisi ajal kasutada tuleks. (antud näites, lisades ühe sildade arvule, st 3-le, saame neli ja jagades nelja kahega, saame kaks,see tähendab, et lõik A) ületatakse teekonna jooksul täpselt kaks korda.
Reklaamvideo:
See tulemus viis Euleri tagasi oma algse probleemi juurde. A-jaotiseni viib viis silda, nii et tema otsitav kaheksa täheline lahendus tuleb ületada kolm korda. Sektsioonidel B, C ja D on kaks silda, mis nende juurde viivad, seega peavad mõlemad ristuma kaks korda. Kuid 3 + 2 + 2 + 2 on 9, mitte 8, ehkki vastavalt tingimusele peate läbima ainult 8 lõiku ja ületama 7 silda. See tähendab, et tervet Königsbergi linna on võimatu läbida, kasutades iga silda täpselt üks kord. Teisisõnu, sel juhul pole probleemil lahendust.
Nagu iga tõeline matemaatik, ei peatunud ka Euler sellega. Ta jätkas tööd ja lõi üldisema reegli teistsuguse arvu sildadega linnade jaoks. Kui linnas on paaritu arv sildu, siis on lihtne viis teada saada, kas saate sellise reisi ette võtta või mitte: kui iga maatükki tähistava tähe esinemiste summa on üks sildade arvust suurem (nagu näiteks kaheksa tähega lahenduses, umbes) varem mainitud), on selline teekond võimalik. Kui summa on sellest arvust suurem, on see võimatu.
Aga paaris arv sildu? Sel juhul sõltub kõik sellest, kust alustada. Kui alustate lõigust A ja liigute üle kahe silla, kuvatakse A teie lahenduses kaks korda. Kui alustate teiselt poolt, ilmub A ainult üks kord. Kui on neli silda, ilmub A kolm korda, kui see lõik oli alguspunkt, või kaks korda, kui see polnud. Üldiselt tähendab see seda, et kui teekond ei alga lõigust A, tuleb seda ületada kaks korda nii palju kui sildade arv (neli jagatud kahega, annab kaks). Kui teekond algab lõigust A, peab see ristuma veel ühe korra.
Euleri lahenduse geenius ei peitu isegi vastuses, vaid meetodis, mida ta rakendas. See oli üks graafiteooria, tuntud ka kui võrguteooria, varasemaid kasutusjuhte, tänapäeva maailmas väga nõutud matemaatika valdkond, mis on täidetud transpordi, sotsiaalsete ja elektrooniliste võrkudega. Königsbergi osas päädis linn teise sillaga, mis muutis Euleri otsuse vaieldavaks ja siis hävitasid Briti väed II maailmasõja ajal suurema osa linnast. Tänapäeval on nii linnal kui jõel uued nimed, kuid vana probleem elab täiesti uues matemaatika valdkonnas.
Igor Abramov
