Kvantnähtuste kirjeldamisel on teooria eksperimentidest nii kaugele jõudnud, et pole võimalik eristada, kus füüsika lõpeb ja matemaatika selles valdkonnas algab. RIA Novosti korrespondent rääkis Dubnas Tuumauuringute Ühisinstituudis (JINR) peetud rahvusvahelise teaduskooli osalejatega sellest, millist matemaatikat on kvantfüüsika jaoks vaja ja milliseid probleeme lahendavad kahe kõige rangema teaduse esindajad.
Kool "Statistilised summad ja automaatvormid" meelitas kohale umbes kaheksakümmend noort teadlast ja õpetajat kogu maailmast, sealhulgas Hermann Nicolai, Albert Einsteini instituudi direktor (Saksamaa).
Selle korraldajad Kõrgema Majanduskooli matemaatikateaduskonna peeglisümmeetria ja automaatvormide laboratooriumist rõhutavad, et Venemaal on aktiivseks muutunud juhtivad teaduskoolid, esindades paljudes valdkondades teadusuuringute esirinnas.
Meie matemaatikute edukus on tihedalt seotud teoreetiliste füüsikute saavutustega, kes otsivad kvantfüüsika uusi ilminguid. See on sõna otseses mõttes teine maailm, mille olemasolu eeldatakse väljaspool Newtoni ja Einsteini reaalsust. Klassikalise füüsika seadustest kaugemale mineku järjepidevaks kirjeldamiseks leiutasid teadlased 1970ndatel keelte teooria. Ta väidab, et universumit saab hinnata mitte punktosakeste, vaid kvantjadade abil.
Igale õpilasele tuttavad mõisted “punkt”, “joon”, “lennuk” hägunevad kvantmaailmas, piirid kaovad ja sama keelteteooria omandab väga keeruka sisestruktuuri. Selliste ebatavaliste objektide mõistmiseks on vaja midagi erilist. Nimelt peeglisümmeetria, mida keeltefüüsikud soovitasid 1990ndate alguses. See on ehe näide sellest, kuidas uued matemaatilised struktuurid tekivad füüsilisest intuitsioonist.
Tavalises maailmas ilmneb selline sümmeetria näiteks siis, kui näeme oma peegeldust peeglist. Kvantmaailmas on see mõõtmatult keerukam, abstraktne vaade, mis selgitab, kuidas kaks erineva väljanägemisega teooriat kirjeldavad tegelikult mitmemõõtmelises ruumiajas elementide osakeste süsteemi erinevatel vastasmõju tasanditel.
Matemaatik Maxim Kontsevitš pakkus 1994. aastal välja füüsikute avastatud efekti - homoloogilise peeglisümmeetria hüpoteesi - uurimise matemaatilise programmi. Neli aastat hiljem võitis ta Fieldsi auhinna, Nobeli matemaatikamaailma preemia.
Venemaal kutsuti peeglisümmeetria suuna väljatöötamiseks Bulgaaria päritolu Ameerika matemaatik Lomonosovi Moskva Riikliku Ülikooli mehaanika- ja matemaatikateaduskonna lõpetanud Ljudmila Katsarkova. Tema projekti ja labori loomist HSE-sse 2016. aasta lõpus toetas Venemaa valitsus megatoetuste programmi raames. Olles üks Kontsevitši kaasautoreid, meelitas Katsarkov ta tööle.
Reklaamvideo:
Intuitsioonist tõenduseni
Enamik kooli õppejõude töötab selles dünaamilises valdkonnas, mis on seotud ruumi-aja geomeetria ning kahevälja ja keelte teooriatega, aidates otseselt või kaudselt kvantmaailma mõistatust. Nende jaoks on üks peamisi uurimisobjekte väga suured süsteemid, mis sisaldavad lõpmatu arvu osakesi. Nende süsteemide kirjeldamiseks termodünaamilises tasakaalus arvutavad füüsikud koguseid, mida nimetatakse jaotuste funktsioonideks.
Kollektorite peegelsümmeetria, Nekrasovi instanton-partitsioonifunktsioonid ja muud keelte teoorias ja kvantväljade teooriasse sisse viidud mõisted osutusid matemaatikute jaoks täiesti uuteks objektideks, mida nad hakkasid huviga analüüsima. Selgus näiteks, et olekusummasid on mugav kirjeldada automatiseeritud vormide abil - funktsioonide eriklass, mida on juba pikka aega arvuteoorias uuritud.
Igale õpilasele tuttavad mõisted “punkt”, “joon”, “lennuk” hägunevad kvantmaailmas, piirid kaovad ja sama keelteteooria omandab väga keeruka sisestruktuuri. Selliste ebatavaliste objektide mõistmiseks on vaja midagi erilist. Nimelt peeglisümmeetria, mida keeltefüüsikud soovitasid 1990ndate alguses. See on ehe näide sellest, kuidas uued matemaatilised struktuurid tekivad füüsilisest intuitsioonist.
Tavalises maailmas ilmneb selline sümmeetria näiteks siis, kui näeme oma peegeldust peeglist. Kvantmaailmas on see mõõtmatult keerukam, abstraktne vaade, mis selgitab, kuidas kaks erineva väljanägemisega teooriat kirjeldavad tegelikult mitmemõõtmelises ruumiajas elementide osakeste süsteemi erinevatel vastasmõju tasanditel.
Matemaatik Maxim Kontsevitš pakkus 1994. aastal välja füüsikute avastatud efekti - homoloogilise peeglisümmeetria hüpoteesi - uurimise matemaatilise programmi. Neli aastat hiljem võitis ta Fieldsi auhinna, Nobeli matemaatikamaailma preemia.
Venemaal kutsuti peeglisümmeetria suuna väljatöötamiseks Bulgaaria päritolu Ameerika matemaatik Lomonosovi Moskva Riikliku Ülikooli mehaanika- ja matemaatikateaduskonna lõpetanud Ljudmila Katsarkova. Tema projekti ja labori loomist HSE-sse 2016. aasta lõpus toetas Venemaa valitsus megatoetuste programmi raames. Olles üks Kontsevitši kaasautoreid, meelitas Katsarkov ta tööle.
Intuitsioonist tõenduseni
Enamik kooli õppejõude töötab selles dünaamilises valdkonnas, mis on seotud ruumi-aja geomeetria ning kahevälja ja keelte teooriatega, aidates otseselt või kaudselt kvantmaailma mõistatust. Nende jaoks on üks peamisi uurimisobjekte väga suured süsteemid, mis sisaldavad lõpmatu arvu osakesi. Nende süsteemide kirjeldamiseks termodünaamilises tasakaalus arvutavad füüsikud koguseid, mida nimetatakse jaotuste funktsioonideks.
Kollektorite peegelsümmeetria, Nekrasovi instanton-partitsioonifunktsioonid ja muud keelte teoorias ja kvantväljade teooriasse sisse viidud mõisted osutusid matemaatikute jaoks täiesti uuteks objektideks, mida nad hakkasid huviga analüüsima. Selgus näiteks, et olekusummasid on mugav kirjeldada automatiseeritud vormide abil - funktsioonide eriklass, mida on juba pikka aega arvuteoorias uuritud.
Kunstniku idee peeglisümmeetriast. RIA Novosti illustratsioon. Alina Polyanina
On palju näiteid matemaatika vastupidise mõju kohta teoreetilisele füüsikale.
„Töötasin uue funktsiooniklassi teooria loomiseks, mida nimetatakse elliptilisteks hüpergeomeetrilisteks integraalideks. Siis selgus, et füüsikud nõuavad neid objekte kui eritüüpi statistilist summat,”räägib matemaatikafüüsik Vjatšeslav Spiridonov JINRi teoreetilise füüsika laborist.
Spiridonov tutvustas oma integraale 2000. aastal ja kaheksa aastat hiljem jõudsid kaks Cambridge'i füüsikut samadesse integraalidesse, arvutades Seibergi kahesuse teooria raames ülijuhiseid indekseid (või supersümmeetrilisi jaotusefunktsioone).
„Üliformaalsed indeksid on väga mugav mõiste elektromagnetiliste duaalsuste kirjeldamiseks, üldistades nähtust, mis avaldus esmakordselt Maxwelli võrrandites (vastastikku üksteist täiendavate füüsikaliste omaduste olemasolu ühes nähtuses. - Toim.). Konstrueeritud matemaatilise teooria abil ennustasime uusi duaalsusi, millest füüsikud ilma jäid. Füüsikud väljendavad ideid, saavad esialgseid tulemusi ja matemaatikud koostavad absoluutse, süstemaatilise analüüsi: nad annavad määratlusi, sõnastavad teoreeme, tõestavad, lubamata nähtuse kirjeldamisel pausi. Kui palju neid veel on? Millest füüsikud ilma jäid? Neile küsimustele vastavad matemaatikud. Füüsikuid huvitab matemaatikute liigitatud objektide mitmekesisus,”ütleb Spiridonov.
Kvantgravitatsiooni ja supersümmeetria otsimisel
„Tahan mõista kvantgravitatsiooni olemust ja mustade aukude füüsikat, kui stringiteooria on looduse kirjeldamiseks korrektne. See on minu motivatsioon. Selleks peate arvutama füüsikalised kogused ja võrdlema neid katsega. Kuid tõsiasi on see, et need on väga keerulised arvutused, matemaatilisi probleeme on palju,”ütleb Pierre Vanhove Teoreetilise Füüsika Instituudist (Saclay, Prantsusmaa), HSE labori kaastöötaja.
Füüsik, kes soovib mõista enne suurt pauku juhtunut, uurida musta augu konfiguratsiooni, on sunnitud tegelema ruumiga, mis on kokku surutud punkti, mille tagajärjel selle geomeetria on oluliselt muutunud. Relatiivsusteooria ei suuda neid objekte, aga ka teisi mitteklassikalisi nähtusi - tumeainet, tumedat energiat - seletada. Teadlased hindavad nende olemasolu kaudsete märkide järgi, kuid uue füüsika ilminguid eksperimendis, sealhulgas kvantgravitatsiooni märke, pole veel õnnestunud fikseerida - teooria, mis ühendaks üldrelatiivsusteooria ja kvantmehaanika. Nõukogude füüsik Matvey Bronstein oli päritolu 1930ndate keskel.
Muide, teadlased salvestasid klassikalises (Einsteini teooria seisukohast) gravitatsioonilaineid eksperimendis alles 2015. aastal. Selleks pidid nad LIGO detektorit märkimisväärselt uuendama. Gravitatsiooni kvant-olemuse tunnetamiseks on vaja veelgi suuremat instrumendi täpsust, mis pole praegusel tehnoloogia arengu tasemel saavutatav.
„Praegu ei anna LIGO mõõtmised juurdepääsu sellele uuele füüsikale, sinna jõudmine võtab aega. Ilmselt aeganõudev. Peame leiutama uued meetodid, matemaatilised tööriistad. Kui varem olid meie jaoks uue füüsika otsimiseks saadaval ainult kiirendid, neist võimsaim on LHC, siis nüüd on avatud teine võimalus - gravitatsioonilainete uurimine,”selgitab Vanhov.
Vaadeldava maailma veidruste selgitamiseks tutvustasid teadlased näiteks supersümmeetria hüpoteesi. Tema sõnul peavad elementaarosakestel, mida katsetes jälgime, olema kaksikud meie maailma "teises" piirkonnas. Nende kaksikute üks eeldatavaid ilminguid on see, et neist kergeim moodustab tumeda aine, see tähendab, et see elab meie ümber, kuid on vaatluseks kättesaamatu.
„Supersümmeetria nägemiseks peate osakeste struktuuri paremini mõistma ja see nõuab veelgi rohkem kiirendi energiaid. Näiteks kui prootonite kokkupõrgetes näeme tavaliste osakeste supersümmeetriliste partnerite sündi, siis see, mida me teeme, on tegelikult olemas. Praegu põrkub kiirend CERN-is osakestega maksimaalse energiaga, kuid supersümmeetriat pole veel avastatud. Selle avaldumise piir - Plancki energia - on meie käeulatusest väljas,”ütleb MISiS-i lõpetanud Mimar Sinani (Istanbul, Türgi) nimelise Riikliku Kaunite Kunstide Ülikooli matemaatilise füüsika osakonna juhataja Ilmar Gahramanov.
Supersümmeetria peab siiski olemas olema, usub Gahramanov, kuna selle idee, selle matemaatika, on "väga ilus".
„Valemid on lihtsustatud, mõned probleemid kaovad, paljusid nähtusi saab selle teooriaga seletada. Tahame uskuda, et see on olemas, kuna supersümmeetria ideed võimaldavad meil saada huvitavaid tulemusi teiste teooriate jaoks, mis on katseliselt testitavad. See tähendab, et selles tekkivad meetodid, tehnoloogia, matemaatika kantakse üle teistesse valdkondadesse,”ütleb teadlane.
Puhas matemaatika
Üks selline valdkond, mis areneb tänu keelteteoorias sõnastatud probleemidele, on kuuvarjundi teooria.
"Moonshine" tähendab inglise keeles unes kõndimist ja hullumeelsust, "ütleb John Duncan Emory ülikoolist (USA).
Selguse huvides näitab ta oma kõne ajal publikule fotot Akropolise kohal asuvast verepunasest kuust, mis on tehtud 31. jaanuari superkuu ajal. Duncan sai hariduse Uus-Meremaal ja tuli siis USA-sse doktorikraadi omandama. Seal kohtunud Igor Frenkel, endine nõukogude matemaatik, otsustas asuda Munshine'i teooria (tõlgitud vene keelde kui "mõttetuse teooria") juurde, mis ehitas sildu "koletise" - suurima lõpliku erandliku sümmeetriate grupi - ja muude matemaatiliste objektide vahel: automorfsed vormid, algebralised kõverad ja tipu algebrad.
“Nööriteooriast tulid väga sügavad matemaatilised ideed, mis muutsid geomeetriat, Lie algebrate teooriat, automatiseeritud vormide teooriat. Filosoofiline kontseptsioon hakkas muutuma: mis on ruum, mis on mitmekesisus. Ilmusid uut tüüpi geomeetriad, uued invariandid. Teoreetiline füüsika rikastab matemaatikat uute ideedega. Alustame nende kallal tööd ja anname nad siis tagasi füüsikutele. Tegelikult ehitatakse matemaatikat nüüd ümber, nagu see juhtus juba XX sajandi 20-30-ndatel aastatel pärast kvantmehaanika arendamist, kui sai selgeks, et matemaatikas on ka teisi struktuure, mida pole varem nähtud, ütleb Valeri Gritsenko, Lille'i ülikooli professor (Prantsusmaa)) ja HSE.
Gritsenko tegeleb puhta matemaatikaga, kuid tema tulemused on füüsikute nõudmisel. Üks tema suurimaid saavutusi, mis on saadud koos matemaatiku Vjatšeslav Nikuliniga, on lõpmatu mõõtmega automorfse hüperbooli Kac - Moody algebrate klassifitseerimine, mis on leidnud rakendust keelteteoorias. Herman Nicolai pühendas oma loengu spetsiaalse hüperboolse Kats-Moody algebra (tüüp E10) kirjeldusele, mis väidab olevat kõigi looduslike füüsiliste sümmeetriate ühendaja.
Hoolimata keelte teooria, supersümmeetria, kvantgravitatsiooni eksperimentaalsete ilmingute puudumisest, ei teadlased mitte ainult ei loobu neist mõistetest, vaid jätkavad nende aktiivset arendamist. Nii et "Pole geomeeter, laske tal mitte siseneda!" - kaks ja pool aastatuhandeid tagasi formuleeritud Platoni akadeemia moto on meie aja jooksul kõige olulisem teoreetilise füüsika jaoks.
Tatjana Pichugina
