Ma olin ekslik laps, kes kasvas üles kirjanduse kallal ning käsitles matemaatikat ja loodusteadusi nii, nagu suudaksid nad katku kätte saada. Seetõttu on üsna kummaline, et selle tulemusena sai minust inimene, kes tegeleb iga päev kolmikintegraalide, Fourieri teisenduste ja matemaatika pärliga, Euleri võrrandiga. On raske uskuda, et sõna otseses mõttes kaasasündinud foobiaga inimesest matemaatikani muutusin inseneriprofessoriks.
Ühel päeval küsis üks mu õpilastest, kuidas mul läks: kuidas ma oma aju muutsin. Tahtsin vastata: "Kurat, see oli äärmiselt raske!" Lõppude lõpuks ei saanud ma matemaatikat ja loodusteadusi teha põhikoolis, keskkoolis ja keskkoolis. Tegelikult alustasin matemaatikatunde alles pärast seda, kui mind 26-aastaselt armeest vallandati. Kui täiskasvanute ajus oleks näide paindlikkuse potentsiaalist, saaksin minust mudel # 1.
Täiskasvanuna matemaatika ja loodusteaduste õppimine avas minu jaoks ukse paljude võimaluste maailma - inseneriteadustesse. Täiskasvanueas raskelt võidetud mu aju muutus andis mulle esmapilgul ülevaate täiskasvanute õppimise aluseks olevast neuroplastilisusest. Õnneks aitasid viimast realiseerida süsteemitehnika doktoritöö ettevalmistamine, tohutu pildi sidumine erinevatest STEM-i teadusharudest (loodusteadused, tehnoloogia, inseneriteadused, matemaatika) ning seejärel minu edasised uuringud ja töö, mis keskendus inimese mõtlemise struktuurile õppeprotsessiga seotud avastused neuroteadustes ja kognitiivses psühholoogias.
Kuna ma sain doktorikraadi, on minu käed läbi käinud tuhanded õpilased, põhikooli ja gümnaasiumi õpilased uskusid, et matemaatika mõistmise püha talisman on aktiivne arutelu. Arvatakse, et kui suudate teistele selgitada, mida olete õppinud, näiteks pilti joonistades, siis saate sellest aru.
Jaapanist on saanud imetlusväärne ja jäljendatud näide nendest aktiivse õppimise meetoditest "mõistmiseks". Kuid selle kontseptsiooni varjukülgedest ei räägita sageli: Jaapanist sai ka Kumoni matemaatika õpetamise meetodi sünnikoht, mis põhineb meeldejätmisel, kordamisel, tuupimisel ja selle kallal, kuidas laps materjali valdab. Seda intensiivset õppekavavälist programmi (ja teisi sarnaseid) on innukalt vastu võtnud Jaapani ja kogu maailma lapsevanemad, kes täiendavad oma laste veebiharidust rohkem harjutamise, kordamise ja, jah, keeruka punnitamisega, et anda neile vabadus seda teemat valdada.
Ameerika Ühendriikides asendab arusaamise rõhutamine mõnikord mõnda teist vanemat meetodit, mida teadlased kasutavad (ja kasutavad): matemaatika ja loodusteaduste õppimiseks tuleb töötada aju loomuliku protsessiga.
Viimane matemaatika haridusreformide laine käsitleb kooli kohustuslikku õppekava: see on katse kehtestada kogu Ameerikas tugevad ja ühtsed standardid, kuigi kriitikud rõhutavad, et standardid ei kannata võrdlust kõige paremini toimivate riikidega. Vähemalt pealiskaudselt pakuvad standardid mõistlikku perspektiivi. Nad eeldavad, et matemaatikas peaksid õpilastel olema võrdsed kontseptuaalsed teadmised, probleemide lahendamise oskuste oskus ja oskus neid rakendada.
Saak peitub muidugi asjade ajamises. Praeguses hariduskliimas peetakse nii õpilaste kui ka õpetajate mäletamist ja kordamist STEM-aladel (versus keele või muusika õppimine) alandavaks aja raiskamiseks. Paljudele õpetajatele on pikka aega õpetatud, et kontseptuaalsed teadmised on STEM-i teadusharudes võtmetähtsusega. Õpetajatel on tõepoolest lihtsam kaasata õpilasi matemaatika teema arutamisse (ja kui see on korralikult tehtud, arendab see paremat mõistmist), kui on tüütu hinnata kodutöid. Selle tagajärg on see, et oskuste ladusus ja oskus neid rakendada peavad arenema võrdselt kontseptuaalsete teadmistega ja seda sageli ei juhtu. Kontseptuaalsete teadmiste levitamine valitseb ülimalt, eriti hinnaliste klasside ajal.
Reklaamvideo:
Mõistmisele keskendumise raskus seisneb selles, et matemaatika- ja loodusõpetuse tundides saavad õpilased sageli aru olulisest punktist, kuid need teadmised võivad kiiresti libiseda, ilma et neid praktikas ja kordustes kinnitataks. Asja teeb veelgi hullemaks - õpilased arvavad sageli, et nad saavad millestki aru, kui tegelikult ei saa. Rõhutades mõistmise tähtsust, saavad õpetajad tahtmatult oma õpilasi ebaõnnestumise poole suruda, kui lapsed tunnevad end teadmiste illusioonis. Nagu üks inseneritudeng mulle hiljuti ütles (eksamil ebaõnnestumine): „Ma lihtsalt ei saa aru, kuidas ma saaksin nii halva tulemuse saada. Sain kõigest aru, kui tunnis selgitasite. Minu õpilane võis arvata, et ta sai teemast siis aru ja võib-olla sai, aga ta ei rakendanud neid teadmisi kunagi praktikas, et neid tegelikult õppida. Tal pole arenenud ühtegi otsustamisoskust ega võimet rakendada seda, mida ta enda arvates juba mõistis.
Matemaatika ja loodusteaduste õppimise ning spordiala valdamise vahel on huvitav seos. Kui õpid golfiklubiga lööma, viimistled seda liikumist mitme aasta jooksul pidevalt kordades. Teie keha teab, mida teha, kui sellele lihtsalt mõelda (kogu blokk), selle asemel, et meenutada kõiki keerulisi samme, mis palli tabamiseks vaja on.
Samamoodi, kui olete matemaatikast ja loodusteadustest midagi aru saanud, ei pea te seda endale iga kord, kui mõne teemaga kokku puutute, pidevalt uuesti lahti seletama. Te ei pea kaasas kandma 25 marmorit, pannes pidevalt viiest tükist ridu, et mõista, et 5 × 5 = 25. Mingil hetkel teate seda lihtsalt peast. Mäletate mõtet, et sama arvu erinevates astmetes korrutamisel (104 × 105 = 109) peate lihtsalt lisama eksponendid (peal on väikesed numbrid). Kui teete seda protseduuri sageli, lahendades palju erinevaid probleeme, leiate, et mõistate nii protseduuride põhjuseid kui ka toiminguid väga hästi. Mõistmist laiendab asjaolu, et teie aju on üles ehitanud tähendusskeeme. Pidev keskendumine enda mõistmisele on tegelikult takistuseks.
Ma õppisin seda kõike matemaatika ja õppeprotsessi kohta mitte klassiruumides K-12, vaid omal kogemusel, lapsena, kasvades Madeleine Langle'i ja Dostojevskit lugedes, kes õppis keelt ühes maailma juhtivas keeleülikoolis ja muutus siis ühtäkki inseneriprofessoriks.
Nooruses, keeleandega ja piisavalt raha ega oskusi omamata, ei saanud ma endale lubada kõrgkooli minekut (ülikoolilaenud ei tulnud siis kõne allagi). Nii läksin keskkoolist alates otse sõjaväkke. Mulle meeldis juba keskkoolis õppida võõrkeeli ja armee tundus mulle koht, kus inimestele maksti raha võõrkeelte õppimise eest, isegi kui nad õppisid mainekas sõjaväe võõrkeelte instituudis, kus keeleõppest kasvas välja teadus. Valisin vene keele, kuna see erines inglise keelest väga palju, kuid see polnud nii keeruline, et pidin seda õppima läbi aegade ja õppima seda rääkima nelja-aastase tasemel. Lisaks viitas raudne eesriie oma salapära: äkki saan kasutada oma vene keele oskust ja heita pilgu,mis selle taga on?
Pärast sõjaväeteenistust hakkasin tõlkima venelastele, kes töötasid Nõukogude traaleritega Beringi meres. Venelaste heaks töötamine oli lõbus ja põnev, lisaks oli see migrantidele veidi glamuurne töö. Lähed kalapüügihooajal merele, teenid korralikku raha, jääd pidevalt mööda teed purju, siis naased hooaja lõpus sadamasse ja loodad, et sind kutsutakse järgmisel aastal uuesti tööle. Vene keelt kõneleva inimese jaoks oli tööhõivele ainult üks alternatiiv - töötada rahvusliku julgeoleku agentuuris (mu sõbrad sõjaväes pakkusid mulle seda võimalust pidevalt, kuid see ei olnud minu jaoks).
Hakkasin aru saama, et võõrkeele oskus on iseenesest küll kasulik äri, kuid piiratud potentsiaali ja võimalustega. Keegi ei katkestanud mu telefoni, keegi ei vajanud minu teadmisi venekeelsetest sõnadest. Kui ma ei kavatseks harjuda merehaiguse ja aeg-ajalt alatoitumusega magavatel traaleritel keset Beringi merd. Kogu aeg meenusid West Pointi õppinud insenerid, kellega armees koos töötasin. Nende matemaatiline ja teaduslik lähenemisviis probleemide lahendamisele oli ilmselgelt kasulik reaalses maailmas, palju kasulikum kui minu noorpõlves matemaatikaga tehtud väärarengud oleksid lubanud mul ette kujutada.
Nii mõistsin 26-aastaselt sõjaväest lahkudes ja uusi võimalusi otsides: kui ma tõesti tahan proovida midagi uut, siis miks mitte alustada sellest, mis võiks minu jaoks avada terve uue perspektiivi maailma? Midagi inseneri taolist? See tähendas, et prooviksin õppida hoopis teistsugust keelt - arvutuskeelt.
Kuna ma isegi kõige lihtsamast matemaatikast halvasti aru sain, algasid minu armeejärgsed jõupingutused algebra ja trigonomeetria taastavatest tundidest. See oli tublisti alla enamiku kolledži üliõpilaste nulltaseme. Mõnikord tundus mulle oma aju ümberprogrammeerimise püüdmine naeruväärne ettevõtmine, eriti kui vaatasin oma nooremate klassikaaslaste noori nägusid ja mõistsin, et nad on matemaatika ja loodusteaduste rasked tunnid juba loobunud ning otsustasin otse nendega kohtuda. Kuid minu puhul kahtlustasin oma täiskasvanuna vene keele valdamise kogemuse põhjal (või lihtsalt lootsin), et võõrkeele õppimise aspektides on midagi sellist, mida saaksin matemaatika ja loodusteaduste valdamisel kasutada.
Vene keelt õppides keskendusin mitte ainult keele mõistmisele, vaid ka selle sujuvusele. Kogu süsteemi (antud juhul keele) tasuta kasutamine nõuab lähedast tutvust, mis saavutatakse eranditult korduva ja mitmekülgse suhtlemise kaudu selle elementidega. Seal, kus mu klassikaaslased rahule jäid vene keele suulise või kirjaliku mõistmisega, püüdsin arendada sisemist ja sügavat seost keele sõnade ja struktuuriga. Ma ei jäänud rahule ainult sõna "mõista" tähenduse teadmisega. Kasutasin verbi praktikas: konjugeerisin seda pidevalt erinevates ajavormides, kasutasin lausetena ja lõpuks sain aru mitte ainult sellest, millal seda verbivormi kasutada, vaid ka siis, kui seda mitte teha. Treenisin väljakutsega meenutada kõiki neid aspekte ja variatsioone kiiresti. Kui te ei valda keelt vabalt ja keegi lobiseb teie kallal kiiresti, nagu see juhtub tavalises vestluses (mis kõlab võõrkeele õppimisel alati kohutavalt kiiresti), pole teil aimugi, millest räägite. tegelikult nad ütlevad, kuigi tehniliselt mõistate iga sõna eraldi ja fraaside ülesehitust. Muidugi ei saa te ise rääkida nii kiiresti, et emakeelega kõnelejad saaksid teid kuulata.
Selle lähenemisviisiga (keskendudes sujuvusele, mitte lihtsalt mõistmisele) jõudsin kõigist klassis ette. Siis ma ei taibanud seda, kuid selline lähenemine keeleõppele andis intuitiivse arusaama õppimise põhialusest ja arenenud kompetentsist - plokkide moodustamisest.
Algselt töötati plokkide moodustamine välja Herbert Simoni revolutsioonilises töös, kus ta analüüsis malet: plokke nähti erinevate maleskeemide erinevate närviekvivalentidena. Järk-järgult said neuroteadlased aru, et sellised spetsialistid nagu malesuurmeistrid saavutasid selle, talletades pikaajalisse mällu tuhandeid plokke teadmisi oma eriala kohta. Näiteks saavad suurmeistrid meenutada kümneid tuhandeid erinevaid malemustreid. Sõltumata distsipliinist võivad teadjamad oma teadvuses äratada ühe või mitu hästi keevitatud, kokku pandud neuronite alamprogrammide plokki, mille abil nad analüüsivad ja reageerivad, kui seisavad silmitsi vajadusega õppida uusi asju. Tõelise mõistmise tase, võime seda uutes olukordades kasutada ilmneb ainult selle selguse, teadmiste taseme,mis suudavad pakkuda ainult kordamist, meeldejätmist ja harjutamist.
Nagu maletajate, kiirabiarstide ja hävitajate pilootide seas läbi viidud uuringud on näidanud, et suurima stressi korral tuleb olukorra teadlik analüüs asendada kiire alateadliku töötlemisega, sest kõik need spetsialistid töötavad sügaval tasandil välja närvilisete alamprogrammide, plokkide süsteemi. Teatud hetkel toimib teadlik "mõistmine", miks te seda või teist tegevust teete, ainult takistuseks ja ei too kaasa kõige edukamaid otsuseid. Kui sain intuitiivselt aru, et võõrkeele õppimise ja matemaatika õppimise vahel on seos, oli mul õigus. Igapäevane vene keele pikaajaline praktiline valdamine laadis ja tugevdas mu närvisidemeid ning hakkasin järk-järgult omavahel ühendama keeleteadmiste plokke, mida sai nüüd hõlpsasti kasutada. Korraldades oma õppimise "kihtidena" (teisisõnu,harjutades nii, et ma teadsin mitte ainult, millal seda sõna kasutada, vaid ka seda, millal mitte, või soovitavalt selle erinevat versiooni), kasutasin tegelikult sama lähenemist, mida matemaatika ja loodusteaduste praktikud kasutavad. Täiskasvanuna matemaatikat ja inseneriteadusi õppides hakkasin kasutama sama strateegiat nagu võõrkeele õppimisel. Vaatasin võrdsust, et võtta kõige elementaarsem näide, Newtoni teine seadus f = ma. Koolitasin aru, mida iga täht tähendab: f - gravitatsioon - tähendas survet, m - kehakaal - pani minu survele omamoodi vastupanu ja a - ergutavat kiirendustunnet. (Samaväärne vene keele õppimisel oli vene tähestiku tähtede valju ütlemine). Jätsin võrdsuse meelde, nii et see jäi minu mällu,ja ma saaksin temaga mängida. Kui m ja a olid suured arvud, siis kuidas mõjutas see f, kui ühendasin need valemiga? Kui f oli suur ja a oli väike, kuidas see m mõjutas? Kuidas võrdsuse osad omavahel kokku sobisid? Võrdsusega mängimine oli nagu tegusõna käänamine. Hakkasin intuitiivselt aru saama, et hägused võrdõiguslikkuse piirjooned olid nagu metafooridest küllastunud luuletus, milles on peidus palju kauneid sümboolseid kujundeid. Kuigi tollal ma seda nii ei nimetaks, pidin matemaatika ja loodusteaduste hea õppimise nimel päevast päeva aeglaselt üles ehitama tugevaid närvi "blokeerimisi" (nagu need, mida tegin valemiga f = ma), et saaksin hõlpsasti kasutada teavet pikaajalisest mälust, nagu vene keele puhul. Kui m ja a olid suured arvud, siis kuidas mõjutas see f, kui ühendasin need valemiga? Kui f oli suur ja a oli väike, kuidas see m mõjutas? Kuidas võrdsuse osad omavahel kokku sobisid? Võrdsusega mängimine oli nagu tegusõna konjugatsioon. Hakkasin intuitiivselt aru saama, et võrdsuse hägused piirjooned olid nagu metafooridest küllastunud luuletus, milles on peidus palju kauneid sümboolseid kujundeid. Kuigi tollal ma seda nii ei nimetaks, pidin matemaatika ja loodusteaduste hea valdamise nimel päevast päeva aeglaselt üles ehitama tugevaid närvi "blokeerimisi" (nagu need, mida ma tegin valemiga f = ma), et saaksin hõlpsasti kasutada teavet pikaajalisest mälust, nagu vene keele puhul. Kui m ja a olid suured arvud, siis kuidas mõjutas see f, kui ühendasin need valemiga? Kui f oli suur ja a oli väike, kuidas see m mõjutas? Kuidas võrdsuse osad omavahel kokku sobisid? Võrdsusega mängimine oli nagu tegusõna konjugatsioon. Hakkasin intuitiivselt aru saama, et võrdsuse hägused piirjooned olid nagu metafooridest küllastunud luuletus, milles on peidus palju kauneid sümboolseid kujundeid. Kuigi tollal ma seda nii ei nimetaks, pidin matemaatika ja loodusteaduste hea valdamise nimel päevast päeva aeglaselt üles ehitama tugevaid närvi "blokeerimisi" (nagu need, mida ma tegin valemiga f = ma), et saaksin hõlpsasti kasutada teavet pikaajalisest mälust, nagu vene keele puhul.millal ma need valemis asendasin? Kui f oli suur ja a oli väike, kuidas see m mõjutas? Kuidas võrdsuse osad omavahel kokku sobisid? Võrdsusega mängimine oli nagu tegusõna konjugatsioon. Hakkasin intuitiivselt aru saama, et võrdsuse hägused piirjooned olid nagu metafooridest küllastunud luuletus, milles on peidus palju kauneid sümboolseid kujundeid. Kuigi tollal ma seda nii ei nimetaks, pidin matemaatika ja loodusteaduste hea valdamise nimel päevast päeva aeglaselt üles ehitama tugevaid närvi "blokeerimisi" (nagu need, mida ma tegin valemiga f = ma), et saaksin hõlpsasti kasutada teavet pikaajalisest mälust, nagu vene keele puhul.millal ma need valemis asendasin? Kui f oli suur ja a oli väike, kuidas see m mõjutas? Kuidas võrdsuse osad omavahel kokku sobisid? Võrdsusega mängimine oli nagu tegusõna konjugatsioon. Hakkasin intuitiivselt mõistma, et hägused võrdõiguslikkuse piirjooned olid nagu metafooridest küllastunud luuletus, milles on peidus palju kauneid sümboolseid kujundeid. Kuigi tollal ma seda nii ei nimetaks, pidin matemaatika ja loodusteaduste hea õppimise nimel päevast päeva aeglaselt üles ehitama tugevaid närvi "blokeerimisi" (nagu need, mida ma tegin valemiga f = ma), et saaksin hõlpsasti kasutada teavet pikaajalisest mälust, nagu vene keele puhul.kuidas see m-le mõjus? Kuidas võrdsuse osad omavahel kokku sobisid? Võrdsusega mängimine oli nagu verbi konjugatsioon. Hakkasin intuitiivselt aru saama, et võrdsuse hägused piirjooned olid nagu metafooridest küllastunud luuletus, milles on peidus palju kauneid sümboolseid kujundeid. Kuigi tollal ma seda nii ei nimetaks, pidin matemaatika ja loodusteaduste hea õppimise nimel päevast päeva aeglaselt üles ehitama tugevaid närvi "blokeerimisi" (nagu need, mida ma tegin valemiga f = ma), et saaksin hõlpsasti kasutada teavet pikaajalisest mälust, nagu vene keele puhul.kuidas see m mõjutas? Kuidas võrdsuse osad omavahel kokku sobisid? Võrdsusega mängimine oli nagu verbi konjugatsioon. Hakkasin intuitiivselt mõistma, et hägused võrdõiguslikkuse piirjooned olid nagu metafooridest küllastunud luuletus, milles on peidus palju kauneid sümboolseid kujundeid. Kuigi tollal ma seda nii ei nimetaks, pidin matemaatika ja loodusteaduste hea õppimise nimel päevast päeva aeglaselt üles ehitama tugevaid närvi "blokeerimisi" (nagu need, mida ma tegin valemiga f = ma), et saaksin hõlpsasti kasutada teavet pikaajalisest mälust, nagu vene keele puhul.milles on peidus palju kauneid sümboolseid kujundeid. Kuigi tollal ma seda nii ei nimetaks, pidin matemaatika ja loodusteaduste hea õppimise nimel päevast päeva aeglaselt üles ehitama tugevaid närvi "blokeerimisi" (nagu need, mida ma tegin valemiga f = ma), et saaksin hõlpsasti kasutada teavet pikaajalisest mälust, nagu vene keele puhul.milles on peidus palju ilusaid sümboolseid kujundeid. Kuigi tollal ma seda nii ei nimetaks, pidin matemaatika ja loodusteaduste hea valdamise nimel päevast päeva aeglaselt üles ehitama tugevaid närvi "blokeerimisi" (nagu need, mida ma tegin valemiga f = ma), et saaksin hõlpsasti kasutada teavet pikaajalisest mälust, nagu vene keele puhul.nagu ma tegin vene keelega.nagu ma tegin vene keelega.
Vahel ütlesid matemaatika- ja loodusteaduste õpetajad mulle, et sügavalt meeltesse kinnistunud teabeplokid olid nende edu absoluutne alus. Mõistmine ei tekita teadmiste ladusust; vastupidi, ladusus loob mõistmise. Tegelikult usun, et tõeline arusaam keerulisest teemast tekib ainult selle vaba valdamise tingimustes.
Teisisõnu, loodusteaduste ja matemaatika õpetamisel on lihtne minna üle õppemeetoditele, kus rõhk on mõistmisel, ning välditakse rutiinset kordamist ja harjutamist, mis on aine sujuvuse aluseks. Õppisin vene keelt mitte ainult sellepärast, et sain sellest aru - lõppude lõpuks pole mõistmine nii keeruline ülesanne, kuid see võib kergesti teilt libiseda. (Mida tähendab venekeelne sõna “mõista”?) Õppisin vene keelt, püüdes ladususe poole harjutamise, kordamise ja toppimise kaudu, ainult teatud tüüpi punnitamine, mis stimuleeris paindliku ja kiire mõtlemise võimet. Õppisin matemaatikat ja loodusteadusi täpselt samadel põhimõtetel. Keel, matemaatika, loodusteadused, nagu peaaegu kõik inimteadmiste valdkonnad, kasutavad aju samu mehhanisme.
Kui ma puhkesin uude ellu, saades elektriinseneriks ja seejärel inseneriprofessoriks, lahkusin minevikust vene keelest. Kuid 25 aastat pärast viimast korda, kui ma Nõukogude traaleril jõin, otsustasime perega Trans-Siberi raudteel kogu Venemaa läbi sõita. Hoolimata sellest, et ootasin seda reisi, millest olin ammu unistanud, olin ma mures. Kõigi nende aastate jooksul pole ma peaaegu ühtegi sõna vene keeles välja öelnud. Mis siis, kui ma unustasin ta täielikult? Mida kõik need aastad, kui oskasin keelt osata, andis mulle?
Muidugi, kui me esimest korda rongi astusime, rääkisin ma vene keelt nagu kaheaastane laps. Otsisin meeletult sõnu, tegin vea deklinatsioonis ja konjugatsioonis, mu endine peaaegu täiuslik hääldus muutus kohutavaks aktsendiks. Kuid vundament pandi ja päevast päeva muutus mu vene keel järjest paremaks. Kuid isegi põhitasemega suutsin meie reisi jooksul igapäevaste ülesannetega toime tulla. Varsti hakkasid giidid mulle lähenema, et saaksin neid teistele reisijatele tõlkida. Lõpuks jõudsime Moskvasse ja istusime taksosse. Juht, nagu ma varsti aru sain, kavatseb meid röövida nagu kleepuv mees - ta sõitis meid täpselt vastupidises suunas, läbi liiklusummikute, oodates, et välismaalased, kes ei saa millestki aru, maksavad vaikimisi lisatasu tariifi järgi. Äkki pääsesid minust venekeelsed sõnad,mida ma pole aastakümneid rääkinud. Ma ei saanud isegi aru, et tunnen neid.
Kusagil sügaval mõtetes jäi mu keeleoskus püsima ja tuli õigel hetkel välja: see viis meid kiiresti hädast välja (ja aitas leida teise takso). Sujuvus võimaldab mõistmisel saada teadvuse osaks ja tekib siis, kui seda vajate.
Kui näen täna, kui palju on meie riigis loodusteaduste ja matemaatika spetsialistidest puudust, vaatlen pedagoogika tänapäevaseid suundumusi, peegeldades oma teed, saadud teadmisi meie aju võimete kohta, mõistan, et võiksime saavutada palju enamat. Vanemate ja õpetajatena saame mõistmise süvendamiseks kasutada lihtsaid ja ligipääsetavaid meetodeid, muutes selle kasulikuks ja paindlikuks. Me võime suruda teisi inimesi ja iseennast õppima uusi erialasid, mis tundusid meile liiga rasked - matemaatika, tants, füüsika, keel, keemia, muusika - avades seeläbi endale ja teistele täiesti uued maailmad.
Nagu ma ise aru sain, on kõige aluseks matemaatika põhjalike, sügavalt juurdunud vabateadmiste omamine (ja mitte ainult "mõistmine"). See avab uksi paljudele huvitavatele erialadele. Tagantjärele mõeldes saan aru, et ma poleks pidanud pimesi järgima oma kalduvusi ja huve. See osa minust, kes “vabalt” armastas kirjandust ja keeli, oli sama, mis pani mind seetõttu matemaatikat ja loodusteadusi armastama, see muutis ja rikastas mu elu.
